Một Vài Cơ Sở Và Khung Trong Không Gian Hilbert

Abstract

Do không gian các hàm bình phương khả tích L2(R) là nền tảng để xây dựng cơ sở wavelets Haar và cơ sở truyền tin Gabor, nên L2(R) cần được nghiên cứu một cách chi tiết với tư cách là không gian Hilbert. Mặt khác để ứng dụng có hiệu quả không gian L2(R) trong việc thực hiện các phép toán, ta cần xấp xỉ L2(R) bởi không gian khác có nhiều tính "tốt" hơn, như liên tục, có giá compact, có thể đạo hàm,...Ta cần xấp xỉ không gian này bằng không gian các hàm liên tục có giá compact, hoặc các đa thức. Từ đó các hàm trong L2(R) có đạo hàm mọi cấp theo nghĩa suy rộng, nhờ đó ta có thể lấy đạo hàm chúng (theo nghĩa suy rộng) và có thể thực hiện các phép tính về đạo hàm... Từ đó ta có thể xây dựng được các hàm sinh ra cơ sở trực chuẩn Gabor và Haar. Hai cơ sở này đóng 2 vai trò hết sức quan trọng trong Lí thuyết sóng nhỏ và đặc biệt là trong Lí thuyết truyền tin. Khi có cơ sở ta sẽ tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung và các tính chất của Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều và không gian Hilbert tổng quát.